Abstract: 

This paper Deals with the complete bipartite graph K(r, n-r) and the cycle Cn.  The matrix of concern is the matrix B which is the (n, n) matrix and whose non zero entries are the reciprocals of the non zero entries of the distance matrix D.  A complete characterization of the spectrum of B and a set of n independent eigenvectors of B will be presented.  Two special cases will be mentioned, namely the star K(1, n-1) and the graph K(2, n-2).  We will also look at the case of infinite graph, i. e if the size  n  grows big while r  stays finite.  Finally, some numerical data will be presented.  As for the cycle, we present the complete set of eigenvalues of the matrix B.

الملخص:

يناقش البحث الرسم الثنائي الكامل ( K(r, n-r .و يركز على المصفوفة  B   التي تتكون عناصرها من مقلوبات نظيراتها في مصفوفة المسافة D . يتم في هذا البحث بيان مفصل للقيم المميزة ومجموعة من المتجهات المميزة لهذه المصفوفة.   يتم التعرض كذلك بشكل خاص لحالتين وهما النجم ذات مركز واحد وذات مركزين.   نتعرض ايضا للحالة التي يزداد فيها عدد الرؤوس n   ليصبح كبيرا.   اخيرا نعرض لبعض الامثلة العددية والتي تعرض المادة المعروضة.  نتعرض كذلك للمصفوفة B المرتبطة مع الحلقة Cn حيث يتم بيان القيم المميزة للمصفوفة B.